تستعرض قائمة الأهداف التي تضمنتها المناهج الحديثة للرياضيات جوانب معينة من التفكير الرياضي؛ فنجد في معايير المجلس الوطني لمعلمي الرياضيات في الولايات المتحدة الأمريكية (NCTM) ما يؤكد على ضرورة العمل على تنمية التفكير الرياضي والتفكير الناقد والبرهان الرياضي والتفكير الاستقرائي والاستننتاجي و الجبري و غيرها من أنواع التفكير الضرورية، وتقديم مادة الرياضيات على أنها وسيلة للتفكير والاتصال تجعل الطلبة مفكرين لا مجرد متلقين للمعارف فقط.

وبالنظر للدراسات السابقة، نجد أن الدعوة إلى تعليم التفكير ومهاراته اتخذت اتجاهات ثلاث، لكل منها فلسفة وتفسير؛ فالاتجاه الأول يدعو إلى التعليم المباشر للتفكير، ويرى مؤيدو هذا الاتجاه أن التدريس المباشر لمهارات التفكير ضروري من خلال مواد تعليمية إضافية منفصلة عن المقرر المدرسي؛ ذلك أن عمليات التفكير بالإمكان تعليمها كغيرها من المواضيع وأن التعلم والتفكير من الناحية المفاهيمية أمر واحد، أما أصحاب الاتجاه الثاني فيدعون إلى التعليم من أجل التفكير من خلال محتوى المنهاج الدراسي، فيحدث تطور تدريجي في مهارات التفكير عند انخراط المتعلم في التفكير خلال المحتوى الدراسي، وأخيرا الاتجاه الثالث والذي يدعو للدمج في تعليم التفكير، ويؤمنون بضرورة تعليم مهارات التفكير من خلال دمجها بالمحتوى الدراسي لجميع المباحث الدراسية والمراحل التعليمية بشكل متوازن، بحيث يتم تصميم أنشطة تعليمية منهجية تؤدي بالمحصلة النهائية إلى تنمية التفكير واستيعاب محتوى المادة الدراسية بطريقة واعية عميقة.

والتفكير الرياضي إذا نظرنا له بصفته مهارة نجده لا ينمو تلقائيا، كما أن الكفاءة التفكيرية ليست قدرة طبيعية ترافق النمو الطبيعي بل تتطور بالتدريب والخبرة، ولذلك فلا بد من خضوع المتعلم إلى مواقف وأنشطة هادفة ومتنوعة متعددة تنمي لديه التفكير بمستوياته المختلفة؛ وعليه، فإنه من الضرورة بمكان العمل على توفير كافة الفرص التي تساعد على تنمية التفكير الرياضي لدى الطلبة، واتباع كافة الوسائل المتاحة سواء بتطوير مناهج الرياضيات وموادها التعليمية أو باتباع طرائق تدريس وأساليب تقويم حديثة؛ ولذلك أصبح لزاماً على المتخصصين والقائمين على مناهج الرياضيات وتصميمها، البحث عن وسائل ناجعة في تدريسها، لتحقيق أهدافها، وهذا يحتم على المؤسسات التعليمية إعادة النظر في أسس اختيار وتخطيط وبناء أطر المناهج وأساليب التعامل مع المعرفة.

ومن خلال مراجعة الأدب البحثي والنظري، ومحاضرات مساق التفكير الرياضي المتقدم، اقترحت إطارا عاما (كما في الجدول (1) أدناه) لتنمية مهارات التفكير الرياضي، والتي يجب تضمينها في مناهج الكافة المراحل الدراسية مع التنويع في طرق العرض والأنشطة والممارسات التدريسية المرافقة لها لتناسب مستوى الطلبة لكل مرحلة ونموهم العقلي، إذ يتضمن الإطار تصنيفا لمهارات التفكير الأساسية بالإضافة للمهارات الفرعية المتضمنة لكل مهارة رئيسة و بعض الأمثلة على تلك المهارات، وعلى المعلم مسؤولية انتقاء الأمثلة المناسبة للمهارة صمن المرحلة الدراسية.

جدول (1): إطار عام لتنمية مهارات التفكير الرياضي

نوع المهارة	المهارة الرئيسة	المهارات الفرعية	أمثلة توضيحية لبعض المهارات
مهارات معرفية متقدمة	التركيز	يتضمن القدرة على تحديد المشكلة و وضع الأهداف، واكتشاف حلول جديدة..	لديك دورقان، سعة الأول 5 لتر من الزيت، وسعة الثاني 2 لتران. ما الطريقة التي يمكن أن تحصل فيها على لتر واحد من الزيت؟  وضح العمليات أثناء الحل؟
	جمع المعلومات	يتضمن القدرة على الملاحظة المنظمة والتساؤل.	1.يلاحظ العلاقة بين محيط الدائرة وقطرها. 2.أكمل السلسلة الآتية: 7، 9، 12، 16،…
	الربط و التذكر	يتضمن القدرة على الاستدعاء المنظم والترميز.	أن يستدعي الطالب النظرية المناسبة لتطبيقها لحل مشكلة رياضية و يعبر عنها بالرموز إذا استدعى ذلك.
	تنظيم المعلومات	يتضمن القدرة على المقارنة والمقابلة، التصنيف، الترتيب.	-التصنيف والترتيب: ميز الأعداد النسبية من غير النسبية، ثم رتب الأعداد النسبية تصاعديا. -المقارنة: أيها أكبر: ناتج ∫س² – 4 في الفترة [2,5] أم المساحة المحصورة بين منحنى الاقتران 2س³-1 و المستقيم ص= 4س .وضح ذلك
	المهارات التوليدية	تتضمن التحليل والتنبؤ والتمثيل.	-التنبؤ: في مباراة لكرة القدم بين فريقين متكافئين، تم تسجيل أربعة أهداف، ماذا تتوقع النتيجة؟ اكتب ست نتائج متوقعة؟ أي النتائج أقوى وأيها الأضعف؟ – التحليل: اكتب عدة سلاسل لكسور مجموعها =1، أو  ما أوجه التشابه والاختلاف بين المربع و متوازي الأضلاع؟
	مهارات التكامل والدمج	يتضمن القدرة على التركيب، والتلخيص وإعادة البناء.	1.أن يكتب الطالب برهانا لنظرية هندسية بناء على خصائص و معطيات محددة، مثلا، أو  يرسم منحنى الاقتران – س² بناء على خصائصه. 2.اكتب ثلاث مسائل مستخدما النسبة المئوية يكون جوابها 15. 3.لخص طرق رسم المثلث.
	التقويم	يتضمن وضع المحكات، والإثبات والبرهان، واكتشاف الأخطاء وتصويبها.	– اكتشاف الأخطاء: يتحقق الطالب من صحة الإجابة ومعقوليتها أو يقوم إجابات أقرانه. – الإثبات والبرهان: إذا كان س + (1/س)=3،أثبت أن س² +(1/س²)= 7
	الاستدلال	يتضمن القدرة على الاستدلال الاستنتاجي والاستقرائي	– الاستدلال الاستنتاجي: أثبت أنه إذا كان أ، ب عددين طبيعيين زوجيين، فإن أ² +ب² عدد زوجي. – الاستدلال الاستقرائي: اثبت أن 1+2+3+….+ن= ن(ن+1)/2
مهارات ما وراء معرفية	التخطيط	يتضمن القدرة على تحديد الأهداف، واختيار الاستراتيجية المناسبة، وترتيب العمليات وتسلسلها، وتوقع العقبات والأخطاء المحتملة، والتنبؤ بالنتائج المتوقعة.	استخدمت أعواد الثقاب لصنع نمط الأسماك الموضح، كم عدد الأسماك التي تستطيع تكوينها وفق النمط السابق باستخدام 110 من أعواد الثقاب؟
	المراقبة والتحكم	يتضمن القدرة على إبقاء الهدف في بؤرة الاهتمام، معرفة الأهداف الفرعية وكيفية تحقيقها، التنقل بين العمليات، اختيار العمليات والاستراتيجيات المناسبة للسياق، واكتشاف الأخطاء وتحديد طرق المعالجة.	بناء على المثال السابق على الطالب التأمل بكل الخطوات والعمليات قبل وأثناء وبعد الإجابة عن المسائل و مراقبة كل خطوة أولا بأول.
	التقييم	يتضمن القدرة على تقييم مدى تحقق الأهداف، الحكم على دقة النتائج ومعقوليتها وكفايتها، الحكم على ملاءمة الاستراتيجيات المستخدمة، التعامل مع المشكلات السياقية، وتقييم فعالية الخطة وتنفيذها.	اختيار الاستراتيجية المناسبة للتحقق من صحة العمليات والإجابة في المثال السابق، و قيام الطالب بخطوات تبين قدرته على تحديد الحل المناسب و الخطة الفعالة له.
مهارات التفكير المركب المتقدم	التفكير الناقد	يتضمن القدرة على الاستنتاج، الاستقراء، التقويم، الحكم بدقة على صحة العبارات الرياضية ووضوحها وتسلسلها المنطقي.	– الاستقراء:   جد الحد العاشر في متتالية الأعداد الآتية: …..،64/16 ،27/9 ،8/4 ،1/1 – الاستنتاج: إذا علمت أن زوايا أي مضلع عدد أضلاعه ن= (2ن-4) *90 ، فاحسب مجموع قياسات زوايا الشكل الخماسي. – التقويم: تقول ريما بأن كل مستطيل مربع، ما رأيك بإجابتها؟برر ذلك.
	التفكير الإبداعي	يتضمن القدرة على تحقيق المهارات الثلاثة : المرونة، الطلاقة، والأصالة.	أعطتك أمك قطعة ارض في حديقة منزلك، مساحتها 20 م² لتعمل فيها حديقة بالشروط الآتية: أن تزرع وردوا ما لا يقل عن 50 شتلة متعددة الألوان، وشجيرات صغيرة، أن تترك ممرات، وأن تضع فواصل بين أنواع المزروعات. 1.احسب التكلفة لإنشاء الحديقة. 2.ارسم مخططا للحديقة. .إذا أردت الاستعانة بأحد من سيساعدك؟ معلم العلوم؟ مهندس زراعي؟ غيرهم؟
	حل المشكلات	تتضمن القدرة على التحليل، التركيب، التقويم والتبرير، التعميم، التجريد، الحدس ، والتمثيل، حل المسائل السياقية.	-التحليل: أن يبين الطالب خصائص جذور المعادلة التربيعية. – التركيب: – التعميم:  اكتب التعميم الذي تستنتجه من الآتي (بالكلمات والرموز): 5/2*2/5=1 ، -3/4*-4/3=1 – التركيب: متى يقبل العدد القسمة على 5 و 2 معا؟ أو جد مجموع أول 100 عدد زوجي. – التقويم والتبرير: اكتب مثالاً يثبت صحة أو خطأ العبارة التالية: (س-ص)²= س² – ص² ، لأي عددين نسبيين س، ص. – حل المسائل السياقية: قطعة ارض مستطيلة الشكل، طولها ضعفي عرضها، إذا كانت مساحتها 50 م² ،أوجد بعديها. – التجريد: تجاهل الطبيعة المحددة للأعداد التي تشكل تسلسلا، مثلا تسلسل الأعداد الصحيحة الموجبة، لتمييز نوع الترتيب التسلسلي (مفهوم السلسلة) ما يهم هنا ليس الأعداد الصحيحة نفسها ولا قانونها التوليدي بل الترتيب الذي ولده (ترتيب خطي منفصل) وهذا مستوى عال من التجريد. مثال آخر: احسب المسافة بين النقطة (-3،1) والمستقيم ص=2س-4.ثم توصل لقانون حساب المسافة بين نقطة وخط مستقيم. – الحدس: مشتقة الاقتران – س² +1 =  ( أ. س²    ب. -2س      ج.-1)
	اتخاذ القرار	يتضمن القدرة على تحديد الأهداف،  توليد الحلول الممكنة، وضع الفرضيات واختبارها ، وترتيب الحلول حسب الأفضلية.	مستطيل يتضمن دائرتان الأولى بمساحة 30 سم² والثانية بمساحة 50 سم²، احسب مساحة المستطيل؟ هل هناك معلومات ناقصة؟ هل يمكنك حساب مساحة المستطيل دون معرفة طوله وعرضه؟ كيف؟
مهارات الاتصال الرياضي	التمثيل	يتضمن القدرة على ترجمة المواقف أو الأفكار الرياضية إلى صيغ جديدة ومتنوعة (جدول، رسم توضيحي، نموذج حسي،…)	– تمثيل الأعداد بصور مختلفة (بالمعداد، المكعبات، الحزم، النقود). – ترجمة الرسوم البيانية الى معادلة برموز أو موقف حياتي. – مثال: اكتبي المعادلة التربيعية للمنحى الممثل بالشكل الآتي:
	الاتصال الكتابي والشفوي	يتضمن القدرة على استخدام اللغة الرياضية الصحيحة للتعبير عن الأفكار بصورة كتابية أو شفوية أو مصورة.	– تقديم وصف لأنماط عددية أو هندسية شفهيا و كتابيا. – تقديم شرح وتفسير لموقف حياتي يتطلب عمليات رياضية. -مثال: اشرح لزميلك كيف تستطيع إيجاد المساحة المحصورة بين المحور السيني و لمستقيم ص= 2س + 4 .
	القراءة والاستماع	تتضمن القدرة على فهم وتحليل وتفسير الحلول والمواقف الرياضية.	– تفسير البيانات الممثلة باستخدام المضلع التكراري. – الاستماع الى وصف لنموذج حسي أو هندسي و تنفيذه بشكل صحيح. -مثال: تأمل الشكل الآتي وأجب عما يلي: 1.ماذا يمثل الشكل؟ 2.ما نوع التغير؟ 3.اكتب العلاقة التي تصف التغير.

توصيات عامة في ضوء سيكولوجية التفكير الرياضي

وفي ضوء سيكولوجية التفكير فإننا نوصي المعلمين ومصممي المناهج على التمييز بين تعليم التفكير الذي يعني تهيئة الفرص والمواقف، وبين تنظيم الخبرات التعلمية التي تحفز الطلبة وتدفعهم على ممارسة التفكير في ضوء المحتوى الدراسي عن طريق الأسئلة الهادفة والنشاطات المفتوحة واستراتيجيات الاستقصاء والاستكشاف وغيرها، ذلك أن تعليم التفكير يفترض أن النظام التعليمي البنكي القائم على الحفظ والاسترجاع  لا ينمي مهارات التفكير وعملياته العليا وتوظيفها في مواقف حياتية أو أكاديمية جديدة. أما تعليم مهارات التفكير فيتضمن تحديد المعلم لمهارة تفكير معينة والتخطيط لتدريسها لشرح الخطوات اللازمة لتنفيذها، وعرض أمثلة عليها، والتحقق من فهم الطلبة وتدريبهم على كيفية تطبيقها بصورة هادفة، مع التركيز على تطبيق المهارة في سياقات مختلفة؛ وذلك يعني أن أثر التعليم لأي مهارة من مهارات التفكير قابل للانتقال والتوظيف في المواقف الحياتية. والسؤال الذي يطرح نفسه: هل هناك أنواع معينة من التعليم يمكنها تحسين أنواع معينة من التفكير؟ وهذا السؤال يعني أن الأمر يتعلق بإمكانية تنمية وتحسين التفكير و ليس بإمكانية تعليمه أو عدمها.

وهنا نوصي المعلمين بضرورة تنمية إطارهم المرجعي في التفكير من خلال البحث في الأدبيات، والعمل على المشاركة في البرامج التدريبية التي تساعدهم على ذلك، حتى يتمكنوا من مساعدة الطلبة على تكوين روابط متعددة في البنية الإدراكية بين الصور الذهنية كتكوين ترميز ثنائي للألفاظ والصور و إعادة ربطها بطرق استنتاجية منطقية مثلا؛ كما عليهم أن يتعرفوا على ما عند المتعلمين من نقص في أنواع المعرفة؛ حتى يزودوهم بالخبرة والتدريب اللازم لتلافي ذلك النقص، وتحليل المهارات المعرفية اللازم توفرها كمتطلبات سابقة لإتقان التعلم اللاحق، وهذا يحتاج طبعا من المعلم أن ينمى إطاره المرجعي في التفكير الرياضي.

إضافة لما سبق، على المعلم أن يخلق جوا داخل الغرفة الصفية ليدفع طلبته نحو التفكير اليقظ؛ ذلك أن المواقف التي يكونها المتعلم خلال التعلم هي التي تؤثر في طريقة تفكيره،  وعليه أن يتيح الفرصة لطلبته لوصف وشرح الخطوات والعمليات التي يقومون بها، والتي تعبر عن مسارات التفكير الرياضي لديهم؛ وبهذا يستطيع المعلم تتبع تلك المسارات و تصحيحها إذا استدعى الموقف التعليمي ذلك أو إثرائها بما هو غني .

علاوة على ذلك، يجب على المعلم استخدام استراتيجيات التعلم التعاوني بأشكالها المختلفة؛ إذ أنها تعطي المتعلم خبرة المشاركة الفعالة في تحويل مهاراته إلى عمليات؛ فتزيد فرصته للوصول إلى مستويات عليا ومتقدمة من التفكير، ولا يغفل تشجيع طلبته على التأمل المستمر؛ حيث يعزز التأمل التفكير المنظم و تساعد في تطوير مهارات ما وراء المعرفة، ومن أهم التوصيات أيضا ضرورة ارتباط ألفاظ المعلم و لغته الرياضية المتداولة أثناء الموقف التدريسي بمهارات التفكير وعملياته، وأن تناسب مستوى المتعلم و نموه وحصيلته الرياضية.

وأخيرا، يجب أن تهتم وتعزز طرق التقويم وأساليبه التي يطبقها المعلم بعمليات التفكير ومهاراته التي يقوم بها طلبته، وأن يعمل على تحدي مستوياتهم من خلال الأنشطة المتنوعة، والأمثلة الغنية ونمذجتها في سياقات متعددة ليصل بهم الى مراحل متقدمة من التفكير الرياضي.

الكلمات المفتاحية : التفكير الرياضي ، مهارات التفكير الرياضي، سيكولوجية التفكير الرياضي

المراجع:

دياب، سهيل رزق.(2000). تعليم مهارات التفكير وتعلمها في منهاج الرياضيات لطلبة المرحلة الابتدائية العليا. غزة: دار المنارة.

Edwards. B. S., Dubinsky, E & McDonald, M A. (2005). Advanced Mathematical Thinking. Mathematical Thinking and Learning, 7(1), 15-25.