توطئة 

تمتزج الهندسة بحياتنا اليومية وفي كل ما يحيط بنا في الفضاء، والأجرام السماوية ونظامها وحركتها، وفي الأرض وطبيعتها التضاريسية، وفي الفن والهندسة المعمارية وعلم الفلك والتماثيل والرياضة، وحتى في الآلات الموسيقية. مما يدعو إلى زيادة الاهتمام بالهندسة وخاصة في السنوات الأولى من التعليم، ويكون التركيز على الأشكال الهندسية وخصائصها والعلاقات فيما بينها ومنه يتم الانتقال إلى التفكير المجرد. وفعلا فقد برز في الآونة الأخيرة الاهتمام بالهندسة، فأصبحت ذات أهمية أكثر من أي وقت مضى، وقد بلغ هذا الاهتمام ذروته عندما أوصى المجلس القومي لمعلمي الرياضيات بالولايات المتحدة الأمريكية (NCTM,1989) إلى ضرورة زيادة التركيز على الهندسة في جميع المستويات واعتبرها من أبرز معايير الرياضيات في عقد التسعينات في القرن العشرين، وذلك لأن المعرفة الهندسية وإدراك علاقاتها مرتبطان ببنية الفرد وحياته اليومية، علاوة على ارتباطها الوثيق بموضوعات رياضية وعلمية أخرى، مما يشير إلى الاهتمام بالهندسة وكيفية تدريسها.

وفي هذا المقال سوف أتناول: التعريف بالنموذج، أهميته، مستوياته، خصائصه، مراحله.

1- التعريف بالنموذج

يعرض نموذج (فان هيل ): الذي توصل إليه مع زوجته (ديانا فان هيل)، وذلك نتيجة الصعوبات التي كان يعاني منها تلاميذهما في الهندسة في المدارس الهولندية. المكونات المنهجية المناسبة لكل مستوى من مستويات التفكير الهندسي، ونموذجاً تعليمياً لتصنيف المتعلمين في هذه المستويات، وفي هذا النموذج توصل (فان هيل): إلى أن هناك خمسة مستويات هرمية ومتتابعة وهي: المستوى التصوري، المستوى التحليلي، مستوى الاستنتاج غير الشكلي، مستوى الاستنتاج الشكلي، مستوى الدقة والصرامة. ولكي يحصل المتعلم على فهم كامل للهندسة لابد أن يمر عبر هذه المستويات وإتقانها تدريجيا. وللنموذج ثلاثة جوانب رئيسية وهي:   وجود المستويات، خصائص المستويات، الانتقال بين المستويات.

يقوم نموذج فان هيل في التفكير الهندسي على فكرة مفادها أن التعلم عملية غير متصلة، بل توجد قفزات في منحنى التعلم، مما يعني وجود مستويات تفكير منفصلة ومختلفة، ومن هنا رأى (فان هيل وزوجته ديانا فان هيل): وجود مستويات مختلفة الخصائص في التفكير الهندسي (الرمحي، 2009، 87).

2- أهمية نموذج فان هيل في تدريس الهندسة

يُعد تحسين مستويات التفكير الهندسي لدى التلاميذ واحداً من الأهداف الرئيسية لتدريس الرياضيات، حيث أن التفكير الهندسي مهم في العديد من المجالات العلمية والتقنية والمهنية، فضلا عن ذلك يوفر التفكير الهندسي طرقاً لتطوير الأفكار عن ظواهر عديدة والتعبير عنها، فمن خلالها يجد التلاميذ أن دراسة الهندسة ذات معنى، كما أن التفكير الهندسي أحد أنواع التفكير التي جذبت اهتمام التربويين، لأن اكتساب التلميذ لهذا التفكير يصله إلى المستويات العليا: على سبيل المثال كتابة البرهان الهندسي، فالتفكير الهندسي فكرة معقدة تتطلب مستويات بصرية وتحليلية عدة كي تُكتسب.

لقد لفت نموذج فان هيل (Van Hiele) أنظار المشتغلين في مجال تعليم وتعلم الرياضيات في كل من هولندا والاتحاد السوفيتي سابقا ودول أوربا، فقامت هذه الدول بمراجعة موضوعات الرياضيات المتعلقة بالهندسة في ظل مبادئ هذا النموذج، وأظهرت هذه المراجعة أن النموذج يتمتع بقابلية عالية للتطبيق في نطاق واسع وغير محدود. (سعيد، 2007، 170)

إن من أهم العوامل التي ساهمت في انتشار وتطوير نموذج (فان هيل) هو: اعتماده على مستويات التفكير الهندسي فيما يخص تقدم التلاميذ في تعلم الهندسة بدلاً من اعتماده فقط على السن والنضج البيولوجي، وكذلك دعمت البحوث دقة هذا النموذج، ودعوتهم لتطوير الهندسة وتنفيذها في الفصول الدراسية بما يتوافق معه.

وقد أوصى التقرير المعلن من (NCTM, 1989) بإدخال نموذج (فان هيل) للممارسة الفعلية ووضعه محل التنفيذ في أمريكا، كما أوصى كذلك الكونجرس العالمي لتعليم الرياضيات  في مؤتمره السابع المنعقد بمدينة كيوبيك (Quebic) الكندية (1992) بتدريس الهندسة في ضوء نموذج (فان هيل).(عبيد، 1993، 198).

وفي الاتجاه نفسه يوصي (NCTM, 2000) باستخدام نموذج (فان هيل) لمساعدة التلاميذ في التغلب على الصعوبات التي يواجهونها في الرياضيات.

يرى كثير من الباحثين: بأن مستويات ( فان هيل ) مفيدة في تحديد مشاكل التلاميذ في فهم المفاهيم الهندسية وتقيم هيكل أو تطوير وتوجيه المحتوى الهندسي في كتب الرياضيات المدرسية الثانوية.

لقد أصبح نموذج فان هيل في الكثير من الدول العامل الأكثر تأثيرا في تطوير محتوى الهندسة في كتب الرياضيات، ففي جنوب أفريقيا حاولت منظمة تعلم الرياضيات ومبادرة التعلم إعادة تصور لتعليم وتعلم الهندسة واقترحوا تغيرات على محتوى الهندسة، حيث رأى الفريق أن نموذج فان هيل يمكن استخدامه كإطار لفهم الهندسة لدى التلاميذ، وكفكرة لوضع محتوى الهندسة في كتب الرياضيات.( Alex & Mammen, 2016, 2225 )

3- مستويات التفكير الهندسي

كما وردت في: (الرمحي،2009 ؛ Usiskin, 1982 ؛ Fuys, et,1995

المستوى (1): المستوى التصوري Visualization

وفيه يحكم التلميذ على الأشكال الهندسية وتصنيفها من مظهرها العام، ويميزها ككل، ولا يعرف شيئاً عن خصائصها، وبالنسبة له فإن المثلث يختلف عن المربع، المربع يختلف عن المستطيل، ولا يستطيع التلميذ في هذا المستوى الربط بين الخصائص، كما أنه لا يعرف العلاقات بينها.

المستوى (2): المستوى التحليلي Analysis

في هذا المستوى يستطيع التلميذ تحليل الأشكال الهندسية بدلالة خصائصها والعلاقة بين هذه الخصائص، كما يعتمد صفات مميزة لكل فئة من الأشكال، ويستخدم خصائص الأشكال الهندسية في حل مسائل هندسية على مستوى الشكل الواحد، ولكن لا يستطيع التلميذ في هذا المستوى الربط بين الخصائص. مثلاً، لا يستنتج التلميذ أن المربع حالة خاصة من متوازي أضلاع.

المستوى (3): مستوى الاستنتاج غير الشكلي Informal deduction

في هذا المستوى يستطيع التلميذ استخدم خواص الأشكال الهندسية في صياغة تعريف تلك الأشكال، كما أنه يستطيع ربط  خواص الأشكال على مستوى الشكل الواحد، أو على مستوى الأشكال المختلفة، كما يتمكن التلاميذ في هذا المستوى من إكمال برهان لمشكلة هندسية، ويستطيع التلميذ في هذا المستوى فهم العلاقات بين النظريات والمسلمات، وتتضح لديه بعض مفاهيم الشروط الضرورية والكافية.

المستوى (4): مستوى الاستنتاج الشكلي Formal deduction

يتحدد هذا المستوى بالتفكير النظري وبناء البراهين للنظريات الهندسية واستخلاص نتائج من خواص ومعطيات محددة، ويستطيع التلميذ في هذا المستوى التمييز بين العناصر غير المعرَّفة والتعريفات والمسلمات والبرهان، ويذكر السبب بعبارات منطقية وبالاعتماد على المسلمات والنظريات.

المستوى (5): مستوى الدقة والصرامة Precision and Rigor

في هذا المستوى يشتغل التلاميذ في أنظمة بديهية مختلفة، ويصير وبإمكانهم دراسة المواضيع الهندسية المختلفة، والمقارنة بين مختلف الأنظمة الهندسية، و مقارنة أنظمة الاستنتاجات المختلفة، والتلاميذ في هذا المستوى يفهمون الهندسة غير الإقليدية، كما أنه يكون بمقدورهم وعي وفهم دور المنطق والطرق المختلفة للبرهان.

4- خصائص مستويات التفكير الهندسي 

كما وردت في: (Usiskin, 1982,5-6)

• التتابع الثابت (fixed sequence): وهي ضرورة أن يمر التلميذ في المستوى (N-1) قبل الوصول إلى المستوى (N).
• التقدم (Advancement): وهو كل ما يكون ضمنيا في المستوى (N-1) يصير صريحا في المستوى (N) والتقدم من مستوى إلى مستوى أعلى يعتمد على أساليب تعليمية مناسبة.
• اللغة (Linguistics): لكل مستوى تفكير رموز خاصة ولغة خاصة وعلاقاته الخاصة التي تربط بين الرموز، فاللغة المستخدمة في المستوى (N-1) تصبح أكثر دقة في المستوى(N)، أي أنه يوجد بناء لغوي لكل مستوى من مستويات التفكير الهندسي.
• الفصل (Separation): لا يُمكن لشخصين في مستوى تفكير مختلف فهم بعضهما البعض. فإذا كان التلميذ في المستوى (N-1) والمعلم يشرح في المستوى (N) فلن يتمكن التلميذ من فهم ما يقوله المعلم.
• الاكتساب (Acquisition): وتعني أنه يمكن لعملية التعلم نقل التلميذ من مستوى تفكير إلى آخر.

5- مراحل نموذج فان هيل

• كما وردت في: ( الرمحي، 2009، 88)

الانتقال من مستوى تفكير إلى آخر يتم من خلال خمسة مراحل وهي:

• المعلومات: يجب أن يبدأ التدريس بمواد تقدم للطفل وتقوده لاكتشاف بُنى معينة.
• الوضوح: يقدم المعلم المصطلحات الهندسية، ويشجع التلاميذ على استخدامها في كتاباتهم في حصص الهندسة.
• التوجيه المباشر: وهي أن تقدم المهام للتلاميذ بطريقة تجعل البُنى المتعلمة مألوفة لديهم.
• التوجيه الحر: يقدم المعلم مهمات يمكن إتمامها بطرق مختلفة، ويكتسب التلاميذ خبرات في حل متطلبات بمفردهم بالاعتماد على ما درسوه سابقا.
• التكامل: يُعطى التلاميذ فرصا لتجميع ما درسوه سابقا، كأن يصمموا أنشطتهم بأنفسهم، يمكن من خلالها خلق فكرة خاصة بهم.

المراجع:

• الرمحي، رفاء، (2009)، نظرية فان هيل في التفكير الهندسي، ملف الثقافة العلمية، رؤى تربوية، العدد (29)، ص 87- 90.
• سعيد، ردمان محمد، (2007)، مدى اتساق محتوى الهندسة في كتب الرياضيات المدرسية للصفوف، من 7-9 في الجمهورية اليمنية مع الأسس التعليمية لنظرية فان هيل للتفكير الهندسي، مجلة العلوم التربوية والنفسية، المجلد (8) العدد (3)، 166- 185.
• عبيد، وليم، (1993)، تقرير عن مؤتمر الكونجرس العالمي لتعليم الرياضيات المنعقد بكندا في الفترة من 17- 23 أغسطس 1992، المجلة التربوية، جامعة الكويت، المجلد (8)، العدد (27)، 193-204.
• – Fuys, D. etal (1995): The Van Hiele Model of Thinking in Geometry, J. of Research in Mathematics Education, Monograph3, NCTM, Vi, U.S.A
• – Usiskin, Z. (1982). Van Hiele levels and achievement in Secondary School Geometry, Department of Education the University of Chicago, 5835 s. Kimbark  Avenue Chicago, IL 60637.